Uma garota de 17 anos refuta uma conjectura matemática proposta há 40 anos.

Hannah Cairo estava presa em um problema de matemática. Tudo o que ela conseguia pensar era em algumas semanas e decidiu tentar uma nova abordagem. "Depois de meses tentando provar o resultado, consegui entender por que era tão difícil. Percebi que, se usasse essas informações corretamente, poderia refutar a afirmação. Finalmente, depois de várias tentativas frustradas, encontrei uma maneira de construir um contraexemplo [um caso que não verifica a propriedade em estudo e que mostra que ela não é geralmente verdadeira]." Ciaro diz que foram necessárias várias ferramentas, incluindo fractais, e ela teve que organizar tudo com muito cuidado. "Levei um tempo para convencer Ruixiang Zhang [o professor da disciplina em que o problema havia sido proposto] de que minha proposta estava realmente correta", diz Cairo.

Acabou se revelando verdade e, com isso, Cairo resolveu a chamada conjectura de Mizohata-Takeuchi , um problema proposto na década de 1980, no qual a comunidade de análise harmônica vinha trabalhando há décadas. Embora fosse amplamente esperado que fosse verdade — se assim fosse, outros resultados importantes na área seriam automaticamente resolvidos —, a comunidade recebeu o resultado com entusiasmo. E com surpresa: sua autora era uma jovem de 17 anos que ainda não havia se formado no ensino médio.

“Quando me mudei de Nassau [Bahamas, onde ele nasceu] para os EUA, ingressei no sistema educacional como estudante do ensino médio, embora tenha cursado aulas na UC Berkeley. Escrevi para professores, contando os livros que havia lido sobre o assunto e perguntando se poderia assistir às aulas. Muitos disseram que sim, incluindo Zhang”, conta. “Um dia, ele propôs provar um caso especial, muito mais simples, da conjectura como tarefa de casa. Como parte opcional, ele propôs a conjectura original. E fiquei obcecado por ela”, acrescenta.

A conjectura de Mizohata-Takeuchi se enquadra no campo da análise harmônica, que busca decompor funções em componentes mais simples, como funções senoidais. Hoje, é uma área de pesquisa bastante promissora e também se tornou uma ferramenta fundamental em inúmeras aplicações, desde a compressão de arquivos digitais de áudio e vídeo até o projeto de sistemas de telecomunicações.

A análise harmônica nasceu no início do século XIX com o trabalho do matemático francês Joseph Fourier sobre o estudo da função calorífica, uma equação diferencial parcial que descreve a difusão de calor em um corpo sólido. Sua ideia revolucionária foi decompor essa função complexa como uma soma de senos e cossenos. A técnica, conhecida como série de Fourier, abriu caminho para uma nova maneira de compreender fenômenos físicos e matemáticos. "Na teoria da análise harmônica, tudo é composto de ondas. Você pode construir qualquer coisa com elas, se usar o número certo de ondas", descreve Cairo.

A análise de Fourier restrita examina que tipos de objetos podem ser obtidos se começarmos com apenas um pequeno conjunto de ondas. "Apenas certas coisas podem ser construídas, e é muito difícil entender quais. A conjectura de Mizohata-Takeuchi afirma que, se usarmos apenas certos tipos de ondas, obteremos uma forma feita de linhas", explica ele.

“Uma vez obtido o primeiro contraexemplo, tentei reformular todo o problema no espaço de frequências. E observei como era minha construção, dessa forma. Então percebi que, na realidade, havia outra maneira, muito mais simples, de projetar um contraexemplo”, declara ela, satisfeita, em uma das salas da Residência San José em El Escorial, onde foi realizado o 12º Congresso Internacional de Análise Harmônica e Equações Diferenciais Parciais de 9 a 13 de junho, organizado pelo Instituto de Ciências Matemáticas (ICMAT) e pela Universidade Autônoma de Madri. O evento, conhecido como Encontros de El Escorial , tornou-se, em seus quase 50 anos de história, um dos mais prestigiados da área.

Esta é a primeira viagem científica internacional de Cairo. Ela chegou a Barcelona há duas semanas e esta é sua quarta conferência desde então. "É uma experiência maravilhosa passar um tempo com outras pessoas que amam matemática", diz ela. Na conferência em El Escorial, ela proferiu uma das palestras do programa. E, longe de se sentir constrangida, ela gostou. Cairo gosta de falar em público. Ela adora ensinar outros alunos — às vezes mais velhos que ela. Sua vocação, diz ela, é "ajudar outras pessoas, fazê-las felizes". E, desde que se lembra, ela é fascinada por matemática.

Ela começou a ler livros didáticos complexos sobre o assunto por conta própria. "Eu sempre quis ser matemática, mas não sabia realmente o que isso significava até aprender álgebra abstrata nos livros. É engraçado, porque álgebra abstrata é o oposto da matemática que eu faço agora. Na verdade, no começo, eu pensei em estudar teoria dos números. Quando eu tinha treze ou quatorze anos, escrevi um artigo sobre teoria dos números, mas ele tratava de um problema com o qual ninguém se importava", ela lembra, rindo.

Durante a pandemia de COVID-19, o acampamento de verão Berkeley Math Circle — um encontro onde alunos do ensino pré-universitário resolvem problemas matemáticos complexos de forma colaborativa, semelhante ao Pequeno Instituto de Matemática (PIM) do ICMAT — teve que ser realizado online. Isso permitiu que Cairo, das Bahamas, se matriculasse no curso. "Os círculos de matemática são para explorar e compartilhar ideias com os amigos; não são como a matemática da escola, em que você precisa memorizar. O trabalho é semelhante a pintar um quadro com suas ideias. Não se trata de atingir um objetivo tangível, mas simplesmente de entender as coisas, fazer perguntas e também é uma ótima maneira de fazer amigos", descreve ela.

O diretor do programa reconheceu o extraordinário talento matemático de Cairo — outro objetivo desse tipo de atividade é identificar pessoas com talento especial para matemática e fomentar seu interesse e habilidade — e sugeriu que ela se tornasse professora nas edições subsequentes. Ela assim o fez. Agora, em sua nova universidade, Maryland, onde iniciará seu doutorado no próximo ano, ela espera formar seu próprio grupo.

Lá, ela continuará trabalhando, supervisionada por Zhang. "Ele me ajudou muito, e sou muito grata. Além das aulas, que eu adorava, ele me dedicou inúmeras horas de tutoria", lembra ela. Na Espanha, o novo Programa Intensivo de Matemática (MIP) do ICMAT também busca identificar e apoiar carreiras desse tipo.

Ágata Timón García-Longoria é coordenadora da Unidade de Cultura Matemática do ICMAT.

Café e Teoremas é uma seção dedicada à matemática e ao ambiente em que ela é criada, coordenada pelo Instituto de Ciências Matemáticas (ICMAT). Nesta seção, pesquisadores e membros do centro descrevem os avanços mais recentes nesta disciplina, compartilham pontos em comum entre a matemática e outras expressões sociais e culturais e relembram aqueles que moldaram seu desenvolvimento e souberam transformar café em teoremas. O nome evoca a definição do matemático húngaro Alfred Rényi: "Um matemático é uma máquina que transforma café em teoremas."