Gołębie i powłoki
Trzy problemy „gołębi” poruszone w zeszłym tygodniu , mimo że są stosunkowo proste, wywołały liczne i interesujące komentarze.
Pierwszy z nich jest najprostszy: jeśli rzucimy kostką 12 razy, może się zdarzyć (choć jest to mało prawdopodobne, jak bardzo nieprawdopodobne?), że każda z sześciu liczb wypadnie dwa razy. Musielibyśmy więc rzucić kostką 13 razy, aby mieć absolutną pewność , że jakaś liczba wypadnie co najmniej trzy razy.
Do drugiego można podejść na różne sposoby. Oto jak zrobił to Luis Ortiz:
„Problem 12-cyfrowy jest wyraźnie zilustrowany za pomocą tabeli. Układamy 100 możliwych dwucyfrowych liczb w rzędach po 11 kolejnych liczb, zaczynając od 00, w następujący sposób:
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
· · ·
88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98
99
W tej tabeli różnica między dowolnymi dwoma liczbami w tej samej kolumnie jest wielokrotnością 11, innymi słowy, obie cyfry są równe. Jeśli wybierzemy 12 dowolnych liczb w tabeli, co najmniej dwie z nich muszą znajdować się w tej samej kolumnie, co oznacza, że ich różnica będzie miała obie cyfry równe. Rzeczywiście: ostatecznie jest to gołębnik z 11 skrzynkami i 12 gołębiami.
Pod koniec poprzedniego wpisu wspomniałem, że zasada szufladkowa pozwala nam skutecznie rozwiązywać niektóre problemy poprzez połączenie jej z teorią grafów. Dobrym przykładem tego jest rozwiązanie podane przez Manuela Amorósa dla trzeciego z problemów z zeszłego tygodnia:
„Problem przyjaźni jest wyraźnie widoczny na kolorowym grafie, gdzie punkty to ludzie, a krawędzie wyrażają relacje: niebieska krawędź, jeśli się znają, i czerwona w przeciwnym razie. Celem jest wykazanie istnienia monochromatycznego grafu. Z dowolnego wierzchołka P wychodzą 5 krawędzi, niebieskich lub czerwonych. Koniecznie będą 3 tego samego koloru, powiedzmy niebieskie. 3 odpowiadające im wierzchołki będą z kolei połączone ze sobą , a mogą być dwa przypadki: albo wszystkie 3 krawędzie wspomnianego trójkąta są czerwone (mielibyśmy monochromatyczny trójkąt), albo jest jedna niebieska krawędź. Ta krawędź, wraz z 2, które wychodzą z jej końców w kierunku P, tworzą niebieski trójkąt”.
Powłoki o podobnych cechachNie opuszczając naszego koncepcyjnego gołębnika (choć związek ten może nie być oczywisty), Salva Fuster zaproponował następujący problem pokrycia:
„Ile co najmniej mniejszych trójkątów równobocznych jest potrzebnych, aby pokryć dany trójkąt równoboczny?”
Te mniejsze trójkąty nie muszą być równe i mogą na siebie nachodzić (w przeciwnym razie odpowiedź będzie oczywista: 4).
Problem dopuszcza ciekawe warianty i uogólnienia : Ile mniejszych kwadratów jest potrzebnych, co najmniej, aby pokryć dany kwadrat? Czy kryterium można uogólnić na inne wielokąty foremne? A także na wielokąty nieregularne? A także na okrąg?
I na koniec jeszcze jeden problem (subtelnie nawiązujący do problemu SF), w którym trójkąt równoboczny i zasada szufladkowa zbiegają się:
Czy każdych 5 punktów w trójkącie równobocznym o boku 1 metra może znajdować się w odległości większej niż 50 cm od siebie?
Jest pisarzem i matematykiem, członkiem New York Academy of Sciences. Opublikował ponad 50 popularnonaukowych prac dla dorosłych, dzieci i młodzieży, w tym „Damn Physics”, „Damn Mathematics” i „The Great Game”. Był scenarzystą „La bola de cristal”.
EL PAÍS
