Los esfuerzos por fundamentar la física en las matemáticas están revelando los secretos del tiempo

La versión original de esta historia apareció en Quanta Magazine .

A principios del siglo XX, el renombrado matemático David Hilbert tenía la gran ambición de introducir un pensamiento matemático más riguroso en el mundo de la física. En aquel entonces, los físicos aún se veían acosados por debates sobre definiciones básicas —¿qué es el calor? ¿cómo se estructuran las moléculas?— y Hilbert esperaba que la lógica formal de las matemáticas pudiera servir de guía.

En la mañana del 8 de agosto de 1900, presentó una lista de 23 problemas matemáticos clave ante el Congreso Internacional de Matemáticos. Número seis: Producir demostraciones irrefutables de las leyes de la física.

El alcance del sexto problema de Hilbert era enorme. Pidió «tratar de la misma manera [que la geometría], mediante axiomas, aquellas ciencias físicas en las que las matemáticas desempeñan un papel importante».

Su desafío de axiomatizar la física era «en realidad un programa», dijo Dave Levermore , matemático de la Universidad de Maryland. «Tal como está planteado el sexto problema, nunca se resolverá».

Pero Hilbert proporcionó un punto de partida. Para estudiar las diferentes propiedades de un gas —por ejemplo, la velocidad de sus moléculas o su temperatura promedio—, los físicos utilizan ecuaciones diferentes. En particular, utilizan un conjunto de ecuaciones para describir cómo se mueven las moléculas individuales de un gas y otro para describir el comportamiento del gas en su conjunto. ¿Era posible, se preguntaba Hilbert, demostrar que un conjunto de ecuaciones implicaba al otro; que estas ecuaciones eran, como los físicos habían asumido pero no habían demostrado rigurosamente, simplemente formas diferentes de modelar la misma realidad?

Durante 125 años, incluso axiomatizar este pequeño rincón de la física parecía imposible. Los matemáticos lograron avances parciales, presentando pruebas que solo funcionaban al considerar el comportamiento de los gases en escalas de tiempo extremadamente cortas o en otras situaciones artificiales. Pero estas no alcanzaban el resultado que Hilbert había imaginado.

Ahora, tres matemáticos finalmente han proporcionado dicho resultado. Su trabajo no solo representa un avance importante en el programa de Hilbert, sino que también aborda cuestiones sobre la naturaleza irreversible del tiempo.

"Es un trabajo hermoso", dijo Gregory Falkovich , físico del Instituto de Ciencias Weizmann. "Una proeza".

Consideremos un gas cuyas partículas están muy dispersas. Hay muchas maneras en que un físico podría modelarlo.

A nivel microscópico, el gas está compuesto de moléculas individuales que actúan como bolas de billar, moviéndose por el espacio según las leyes del movimiento de Isaac Newton, de 350 años de antigüedad. Este modelo del comportamiento del gas se denomina sistema de partículas de esferas duras.

Ahora, aléjate un poco. En esta nueva escala "mesoscópica", tu campo de visión abarca demasiadas moléculas como para rastrearlas individualmente. En su lugar, modelarás el gas utilizando una ecuación que los físicos James Clerk Maxwell y Ludwig Boltzmann desarrollaron a finales del siglo XIX. Llamada ecuación de Boltzmann, describe el comportamiento probable de las moléculas del gas, indicando cuántas partículas puedes esperar encontrar en diferentes lugares moviéndose a distintas velocidades. Este modelo del gas permite a los físicos estudiar cómo se mueve el aire a pequeña escala; por ejemplo, cómo podría fluir alrededor de un transbordador espacial .

Al alejar la imagen, ya no se puede distinguir que el gas está compuesto de partículas individuales. Actúa como una sustancia continua. Para modelar este comportamiento macroscópico (la densidad del gas y su velocidad de movimiento en cualquier punto del espacio), se necesitará otro conjunto de ecuaciones, las ecuaciones de Navier-Stokes.

Los físicos consideran compatibles estos tres modelos diferentes del comportamiento del gas; simplemente son enfoques distintos para comprender lo mismo. Pero los matemáticos que aspiraban a contribuir al sexto problema de Hilbert querían demostrarlo rigurosamente. Necesitaban demostrar que el modelo de partículas individuales de Newton da lugar a la descripción estadística de Boltzmann, y que la ecuación de Boltzmann, a su vez, da lugar a las ecuaciones de Navier-Stokes.

Los matemáticos han tenido cierto éxito con el segundo paso, demostrando que es posible derivar un modelo macroscópico de un gas a partir de uno mesoscópico en diversos entornos. Sin embargo, no pudieron resolver el primer paso, dejando la cadena lógica incompleta.

Ahora eso ha cambiado. En una serie de artículos, los matemáticos Yu Deng , Zaher Hani y Xiao Ma demostraron el paso más difícil, de microscópico a mesoscópico, para un gas en uno de estos entornos, completando la cadena por primera vez. El resultado y las técnicas que lo hicieron posible son revolucionarios, afirmó Yan Guo, de la Universidad de Brown.

Boltzmann ya podía demostrar que las leyes del movimiento de Newton dan lugar a su ecuación mesoscópica, siempre que se cumpla un supuesto crucial: que las partículas del gas se mueven de forma más o menos independiente. Es decir, debe ser muy raro que un par de moléculas colisione varias veces.

Pero Boltzmann no pudo demostrar definitivamente la veracidad de esta suposición. «Lo que no pudo hacer, por supuesto, fue demostrar teoremas al respecto», dijo Sergio Simonella, de la Universidad La Sapienza de Roma. «No existía estructura ni herramientas en ese momento».

Después de todo, hay infinitas maneras en que un conjunto de partículas podría colisionar y volver a colisionar. «Se produce una enorme explosión de posibles direcciones en las que pueden ir», dijo Levermore, lo que convierte en una «pesadilla» demostrar que los escenarios con muchas recolisiones son tan raros como Boltzmann esperaba.

En 1975, un matemático llamado Oscar Lanford logró demostrarlo , pero solo durante periodos de tiempo extremadamente cortos. (El tiempo exacto depende del estado inicial del gas, pero es menor que un abrir y cerrar de ojos, según Simonella). Luego, la prueba se desmoronó; antes de que la mayoría de las partículas tuvieran la oportunidad de colisionar siquiera una vez, Lanford ya no podía garantizar que las recolisiones siguieran siendo algo poco común.

En las décadas siguientes, muchos matemáticos intentaron ampliar su resultado, sin éxito.

Luego, en noviembre de 2023, Deng, ahora en la Universidad de Chicago, y Hani, de la Universidad de Michigan, publicaron una preimpresión que anticipaba la prueba deseada. Un próximo artículo, escribieron, se basaría en su último resultado para investigar "la extensión a largo plazo del teorema de Lanford".

Otros matemáticos no supieron qué pensar del anuncio. «No lo creía posible», dijo Pierre Germain , del Imperial College de Londres. Deng y Hani ni siquiera solían trabajar con sistemas de partículas; hasta entonces, se habían dedicado principalmente a estudiar sistemas compuestos por ondas (como los rayos de luz).

Así pues, los matemáticos esperaban ansiosamente la prueba prometida.

El resultado de Deng y Hani de 2023 implicó un análisis de la transición de la escala microscópica a la mesoscópica en el contexto de las ondas. Aproximadamente un año antes de que los matemáticos publicaran su artículo en línea, Deng asistió a una conferencia donde se reunió con un estudiante de posgrado de la Universidad de Princeton llamado Xiao Ma. Terminaron discutiendo el trabajo de Deng y Hani y cómo podrían adaptar los métodos a las partículas. Esto les permitiría ampliar el resultado de Lanford y demostrar que las recolisiones de partículas son poco frecuentes incluso en escalas de tiempo más largas.

Era una idea que Deng y Hani ya habían considerado. Impresionado por las ideas de Ma sobre el tema, Deng lo invitó a ayudarlos a convertir su intuición en una prueba.

El trío esperaba centrarse en un escenario ampliamente estudiado, en el que los matemáticos ya habían demostrado el segundo paso, de meso a macro, del sexto problema de Hilbert. En este escenario, un gas diluido de partículas esféricas queda atrapado en una caja. Si una partícula impacta en una de las paredes de la caja, reaparece en la pared opuesta.

Pero para demostrar el paso más difícil de micro a meso para este entorno —resolviendo así el sexto problema de Hilbert—, Deng, Hani y Ma tuvieron que adaptar sus técnicas basadas en ondas a partículas. Así que comenzaron en un entorno donde esa tarea sería un poco más sencilla. Trabajaron con un gas cuyas partículas se distribuyen aleatoriamente en un espacio infinito; a diferencia de las partículas del gas encapsulado, que rebotan entre sí indefinidamente, estas partículas finalmente se dispersan y dejan de colisionar. «En el caso del espacio completo, hay un atajo», dijo Deng.

Los tres matemáticos primero tuvieron que tabular los diferentes patrones de colisión que podrían ocurrir en su gas y la probabilidad de cada uno. Pudieron descartar fácilmente escenarios con tasas de colisión particularmente altas. Esto les dejó con un número finito, aunque aún enorme, de patrones para analizar, cada uno involucrando un subconjunto específico de partículas que colisionan en un orden específico. Una vez que supieron exactamente qué implicaba cada patrón, pudieron usar esa información para estimar su probabilidad de ocurrencia.

Pero eso a menudo parecía una tarea imposible, porque muchos de los patrones involucraban enormes cantidades de partículas e intrincadas interacciones indirectas entre ellas. «La estructura de estos conjuntos [de partículas en colisión] se vuelve extremadamente compleja», dijo Deng. En principio, los matemáticos necesitarían realizar un seguimiento de cada una de estas partículas simultáneamente para calcular las estimaciones de probabilidad que necesitaban.

Ahí es donde el trabajo previo de Deng y Hani sobre ondas les brindó una perspectiva importante. Gracias a ello, descubrieron maneras de descomponer patrones complejos de ondas en interacción en patrones más simples. Desarrollaron cuidadosamente su técnica para que, trabajando solo con unas pocas ondas a la vez, pudieran obtener una buena estimación de la probabilidad del patrón de onda completo, más complejo.

Esperaban que la misma idea funcionara en el entorno de partículas.

Pero tras una colisión, las partículas se comportan de forma muy distinta a las ondas. Por ejemplo, las partículas, a diferencia de las ondas, rebotan entre sí, lo que afecta considerablemente el patrón resultante de colisiones y su probabilidad de ocurrencia. Deng, Hani y Ma tuvieron que replantear los detalles de su estrategia desde el principio.

Primero, abordaron los casos más simples, en los que cada partícula colisiona solo unas pocas veces en un lapso de tiempo muy corto, sin re-colisiones. Luego, gradualmente, avanzaron hacia casos cada vez más complejos: períodos más largos, con más colisiones y re-colisiones.

Era tanto un arte como una ciencia. «La intuición se desarrolló gradualmente, a partir de algunos intentos fallidos», dijo Deng. Tenían que aprender a segmentar patrones grandes y complejos de colisiones de partículas para simplificar sus cálculos y mantener la alta precisión de sus estimaciones.

“Este es un proceso que lleva meses”, dijo Hani. “Nos quedábamos atascados constantemente”. Casi todos los días, se conectaban a una reunión de Zoom para hablar de las cosas. “Para consternación de mi esposa, algunas sucedían muy tarde en la noche o muy temprano en la mañana”, dijo Hani. “Acostaba a mi hija y luego teníamos dos o tres horas de reuniones de Zoom”.

Finalmente, para la primavera de 2024, el trío estaba seguro de haberlo abarcado todo. Su prueba, publicada en línea ese verano, confirmó que las recolisiones debían ser extremadamente infrecuentes. Demostraron, como esperaban, que en su contexto de espacio infinito, la descripción de Boltzmann del gas podía derivarse de la de Newton. Las escalas microscópica y mesoscópica se agrupaban en un único y riguroso marco matemático.

"Creo que es un trabajo excepcional", dijo Alexandru Ionescu , matemático de Princeton, quien también fue asesor doctoral de Deng y Ma. "Estos son algunos de los avances más significativos en muchísimos años".

Ahora estaban listos para regresar al entorno de gas en una caja, donde finalmente podrían resolver el sexto problema de Hilbert.

No tardaron mucho en extender su resultado del entorno de espacio infinito al de espacio cerrado. «El 80 % de la demostración sigue siendo la misma en el caso de espacio completo», dijo Deng.

En marzo, publicaron un nuevo artículo que combinaba su demostración con los resultados previos que vinculaban la ecuación de Boltzmann con las ecuaciones de Navier-Stokes. La cadena lógica estaba completa: habían demostrado que, para un modelo realista de un gas, una descripción microscópica de partículas individuales da lugar, en última instancia, a una descripción macroscópica del comportamiento del gas a gran escala.

El trabajo no solo marcó la resolución de un caso importante del sexto problema de Hilbert, sino que también proporcionó una rigurosa resolución matemática de una antigua paradoja.

A escala microscópica, donde las partículas actúan como bolas de billar, el tiempo es reversible. Las ecuaciones de Newton predicen tanto el origen como el destino de una partícula. El futuro no es fundamentalmente diferente del pasado.

Pero a nivel mesoscópico y macroscópico, no hay vuelta atrás en el tiempo. «Sabemos muy bien que, avanzando en el tiempo, uno envejece, pero no rejuvenece; el calor no pasa espontáneamente de un cuerpo frío a uno caliente; una gota de tinta en un vaso de agua se extiende, oscureciendo el líquido, pero no vuelve espontáneamente a su forma pequeña y redonda original», escribió Simonella. Ni la ecuación de Boltzmann ni las ecuaciones de Navier-Stokes son reversibles en el tiempo; si se intenta retroceder en el tiempo, los resultados serán absurdos.

Para los contemporáneos de Boltzmann, esto resultaba desconcertante. ¿Cómo podía derivarse una ecuación irreversible en el tiempo de un sistema reversible en el tiempo?

Pero Boltzmann argumentó que no había ninguna paradoja: incluso si cada partícula pudiera modelarse de forma reversible en el tiempo, casi todos los patrones de colisión terminan con un gas dispersándose. La probabilidad de que, por ejemplo, un gas se contraiga repentinamente es prácticamente nula.

Lanford había confirmado matemáticamente esta intuición para su breve período de tiempo. Ahora, el resultado de Deng, Hani y Ma la confirma para situaciones más realistas.

De cara al futuro, los matemáticos —que aún analizan los detalles de la nueva demostración— quieren comprobar si técnicas similares podrían ser útiles en otros contextos aún más realistas. Estos podrían incluir gases compuestos por partículas de diferentes formas o partículas que interactúan de maneras más complejas.

Mientras tanto, dijo Falkovich, este tipo de pruebas rigurosas pueden ayudar a los físicos a comprender por qué un gas se comporta de cierta manera a distintas escalas y por qué diferentes modelos podrían ser más o menos efectivos en diferentes escenarios. «Lo que los matemáticos hacen con los físicos», dijo, «es despertarnos».

Nota del editor: El trabajo de Deng y Hani sobre el sistema de ondas fue financiado en parte por la Fundación Simons, que también financia la revista editorialmente independiente Quanta.

Historia original reimpresa con permiso de Quanta Magazine , una publicación editorialmente independiente de la Fundación Simons cuya misión es mejorar la comprensión pública de la ciencia cubriendo los desarrollos de investigación y las tendencias en matemáticas y ciencias físicas y de la vida.