Piccioni e rivestimenti
I tre problemi dei "piccione" posti la settimana scorsa , nonostante la loro relativa semplicità, hanno suscitato numerosi e interessanti commenti.
La prima è la più semplice: se lanciamo un dado 12 volte, potrebbe succedere, anche se è improbabile (quanto improbabile?), che ciascuno dei sei numeri esca due volte, quindi dovremmo lanciarlo 13 volte per essere assolutamente certi che un certo numero esca almeno tre volte.
Il secondo può essere affrontato in diversi modi. Ecco come ha fatto Luis Ortiz:
Il problema delle 12 cifre è chiaramente illustrato da una tabella. Disponiamo i 100 possibili numeri di due cifre in righe di 11 numeri consecutivi ciascuna, a partire da 00, come segue:
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
· · ·
88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98
99
In questa tabella, la differenza tra due numeri qualsiasi nella stessa colonna è un multiplo di 11, ovvero entrambe le cifre sono uguali. Se scegliamo 12 numeri qualsiasi nella tabella, almeno due di essi devono essere nella stessa colonna, il che significa che la loro differenza avrà entrambe le cifre uguali. In definitiva, è come una colombaia con 11 caselle e 12 piccioni.
Alla fine del post precedente ho affermato che il principio del piccione ci consente di affrontare efficacemente alcuni problemi combinandolo con la teoria dei grafi, e la soluzione fornita da Manuel Amorós per il terzo problema della scorsa settimana ne è un buon esempio:
Il problema dell'amicizia è chiaramente visibile in un grafo colorato in cui i punti sono persone e gli archi esprimono le relazioni: un arco blu se si conoscono e uno rosso altrimenti. L'obiettivo è dimostrare l'esistenza di un grafo monocromatico. Da ogni vertice P si diramano 5 archi, blu o rossi. Necessariamente, ce ne saranno 3 dello stesso colore, diciamo blu. I 3 vertici corrispondenti saranno a loro volta connessi tra loro , e si possono presentare due casi: o tutti e 3 gli archi di detto triangolo sono rossi (avremmo un triangolo monocromatico), oppure c'è un arco blu. Questo arco, insieme ai 2 che si diramano dalle sue estremità verso P, formano un triangolo blu.
Rivestimenti con figure similiSenza uscire dalla nostra colombaia concettuale (anche se la relazione potrebbe non essere ovvia), Salva Fuster ha proposto il seguente problema di copertura:
“Dato un triangolo equilatero, quanti triangoli equilateri più piccoli sono necessari, come minimo, per coprirlo?”
Questi triangoli più piccoli non devono essere necessariamente uguali e possono sovrapporsi (altrimenti la risposta sarebbe ovviamente 4).
Il problema ammette interessanti varianti e generalizzazioni : dato un quadrato, quanti quadrati più piccoli sono necessari, come minimo, per coprirlo? Il criterio può essere generalizzato ad altri poligoni regolari? E ai poligoni irregolari? E al cerchio?
E infine, un altro problema (sottilmente correlato a quello della SF) in cui convergono il triangolo equilatero e il principio della casella:
Dati 5 punti di un triangolo equilatero con lati di 1 metro, possono distare più di 50 cm l'uno dall'altro?
È scrittore e matematico, membro della New York Academy of Sciences. Ha pubblicato più di 50 opere di divulgazione scientifica per adulti, bambini e ragazzi, tra cui "Accidenti alla fisica", "Accidenti alla matematica" e "Il grande gioco". È stato sceneggiatore de "La bola de cristal".
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